Natürliche Zahl

Natürliche Zahlen sind die dem mathematischen Laien wohl am vertrautesten Zahlen. Die Menge der natürlichen Zahlen enthält schlicht die Zahlen 0, 1, 2, 3, ... ; also die nichtnegativen ganzen Zahlen.

Oftmals wird die Menge der natürlichen Zahlen ohne die Null definiert. Für eine formale Definition der Menge der natürlichen Zahlen und der zugehörigen Rechenregeln ist es aber sinnvoll, die Null auch als natürliche Zahl zu bezeichnen.

Es folgt eine Definition der Axiome der natürlichen Zahlen, die erstmals 1889 von Giuseppe Peano angegeben wurde.

1. Null ist eine natürliche Zahl.

2. Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger, der wieder eine natürliche Zahl ist.

3. Null ist kein Nachfolger irgendeiner natürlichen Zahl.

4. Wenn zwei Zahlen verschieden sind, dann haben sie verschiedene Nachfolger.

5. Wenn eine Zahl die Eigenschaft X besitzt, und jede Zahl diese Eigenschaft an seinen Nachfolger vererbt, dann gilt diese Eigenschaft für alle natürlichen Zahlen.

Die ersten beiden Axiome zeigen den induktiven Aufbau der Menge der natürlichen Zahlen. Das bedeutet, man kann jede natürliche Zahl etwa so schreiben:

Nachfolger von Nachfolger von ... Null

John von Neumann hat die natürlichen Zahlen induktiv aus der

leeren Menge aufgebaut:

0  := {}

1  := {0} = {{}}

2  := {0, 1} = { {}, {{}} }

...

n+1 := {0,1,..,n}

Zur Erklärung: eins ist die die Menge, die nur die leere Menge (=0) als Element enthält; das ist nicht die leere Menge selbst!

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--Hermel